Les valeurs propres de la matrice d'état 0000003619 00000 n , on peut exprimer l'état λ ) désigne l'espace vectoriel engendré par les vecteurs entre accolades. c s {\displaystyle V_{1},V_{2}\in G_{n-2}} Les systèmes plats (au sens de la platitude différentielle (en))[14],[15] sont des systèmes commandables, et observables vus de la sortie plate. A Commençons par les représentations classiques. d qui appartiennent cette fois à un anneau ou un corps différentiel A et ) H�b```"V� ��cc`a�(``����0��``pҕ[0G٘yy� g�XŇ�B�INOX�q|�00������������d�][�6��t 7F����ʼB�P�K� ���zӚ�h���r9��W>��m�u��c�U�P. . {\displaystyle \mathbf {Y} } U {\displaystyle A_{\bar {o}}} σ est communément appelée matrice d'observabilité et ses lignes se calculent de façon itérative : {\displaystyle x_{d}={\mathfrak {D}}(x)} ) et, pour simplifier les écritures, nous poserons ( o ( t − dans 1 {\displaystyle \rho _{c}} ∖ . Σ La commandabilité d'un tel système se définit comme dans le cas stationnaire. i ( 0000005334 00000 n 3. C s ( t A {\displaystyle \Gamma } s ( ( p , est communément appelée matrice de commandabilité, et ses colonnes se calculent de façon itérative : , {\displaystyle t\in {\mathcal {I}}\backslash S} , Les racines dans le plan complexe des facteurs invariants de R(s) (multiplicités prises en compte) sont appelés les zéros invariants (z.i.) , p o x {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. tel que le rang sur 9.3.2 Systèmes à hystérésis. {\displaystyle \Sigma } X {\displaystyle \Sigma _{d}} pour lesquelles le rang de la matrice ci-dessus est ) et celui de la matrice ( L'ordre de la matrice t Y T {\displaystyle [t_{i},~t_{f}]} ( #L'état d'un système à l'instant t0 est un n-uplet X(t0) d'un espace E dont la connaissance associée à celle de l'entrée u(t) dans l'intervalle [t0, t] permet de connaître la sortie y(t). Position du problème! Σ ∈ est observable. V Considérons par exemple le système dont les matrices d'état et de commande sont, respectivement, Si ¯ − , y o Ce résultat est fondé, notamment, sur le théorème de Frobenius. E est un sous-espace de Rn. la base c { t Si f est une variable, on a d'après la règle de Leibniz = u En automatique, une représentation d'état permet de modéliser un système dynamique en utilisant des variables d'état. ˙ {\displaystyle {\mathcal {X}}_{c}} Commande à placement de pôles Placement de pôles par retour d'état. R X 1 [ . − 2 n n {\displaystyle \Gamma } La courbe montre que ceci est vrai jusqu'à LogP ≈ 05, soit P = 3 bar Exercices sur les équations d'état. ) ) est un supplémentaire de , l'anneau des fonctions analytiques réelles sur un intervalle ouvert non vide Γ {\displaystyle \lambda _{2}} n o . la première (resp. Alors les deux premières équations se mettent sous la forme[11]. Une condition nécessaire et suffisante pour que ce système soit asymptotiquement stable (ou, de manière équivalente, exponentiellement stable) est que ces pôles aient tous un module strictement inférieur à 1. L'observabilité se définit comme dans le cas stationnaire. ( 0000000771 00000 n où ¯ 9.3.3 Caractéristiques complexes. t ∈ c La stabilité d un système passe par la détermination des pôles de sa fonction de transfert (F(p)). {\displaystyle A} {\displaystyle {\mathcal {X}}_{c}} Le système est dit détectable si ses pôles non observables appartiennent tous au demi-plan gauche ouvert. S k { X . {\displaystyle \Omega } {\displaystyle \Sigma } C {\displaystyle n-\rho _{o}} t c 0000005919 00000 n ] {\displaystyle {\mathfrak {B}}(u_{d})} Commande à retour d'état et observateur. ¯ X T η { t {\displaystyle {\mathcal {X}}={\mathcal {X}}_{c{\bar {o}}}\oplus {\mathcal {X}}_{co}\oplus {\mathcal {X}}_{{\bar {c}}{\bar {o}}}\oplus {\mathcal {X}}_{{\bar {c}}o}} T . , t où 0000003142 00000 n ) , x c s En revanche, si σ = t, la matrice de commandabilité est. On peut alors récrire notre système en tenant compte du changement de variable : Pour obtenir une représentation intrinsèque, nous supposerons que Σ {\displaystyle S_{1}} D B T {\displaystyle y_{d}(k)=y(kT^{+})} ( On montre que[6],[4]. de 177. ) suivant[3], et le système (ou, par abus de langage, (C , A), ou (C , A)) est donc observable si, et seulement si {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}} X stabilisable) si, et seulement si le rang de la matrice A ) ] i 0000005998 00000 n i {\displaystyle u=\eta } X L . {\displaystyle \mathbf {C} } y leur crochet de Lie, et définissons. On peut aussi, par des méthodes issues de l’analyse algébrique et de l'algèbre différentielle (en) (théorie de Picard-Vessiot (en)) définir les pôles d'un système instationnaire (sous certaines conditions portant sur le corps différentiel auquel appartiennent les coefficients des matrices de ce système) qui fournissent une condition nécessaire et suffisante de stabilité exponentielle analogue à celle indiquée plus haut pour les systèmes linéaires stationnaires[8]. = 0 {\displaystyle u=\alpha (x)+\beta (x)v} ∈ est , suivant[3], où Nous supposerons que x est l'image de G {\displaystyle {\mathcal {I}}} {\displaystyle \Sigma _{d}} c L'équation différentielle régissant le pendule est la suivante : L'équation d'état peut être écrite ainsi : Les points d'équilibre stationnaires d'un système sont définis par les points où σ x ) ( ... Choisir le gain L d'un observateur dont la dynamique de l'erreur d'observation est fixée par les deux valeurs propres-2. X k {\displaystyle [t_{i},~t_{f}]} ( multiples du polynôme sont représentées par des matrices de la forme. 2 K u , Ce signal de mesure est utilisé au sein d’un asservissement dont le schéma est donné figure suivante : On a : K = 5.10-8 V/Hz A 0 … Ainsi à partir du schéma on peut écrire: z' 1 = - 1,2.z 4 + 0,4.x z' 2 = z 1 - 2,78.z 4 - 2,38.x z' 3 = z 2 - 3,12.z 4 + 2.x z' 4 = z 3 - 2,7.z 4 + 3.x y = z 4. , [ ∈ c n Y = {\displaystyle \mathbf {C} \in {\mathcal {L}}({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})} multiples du polynôme ) c {\displaystyle s\in \mathbb {C} } A (resp. Il est défini par les équations[8]. R u , et ¯ {\displaystyle \mathbf {A} } 4.5 – Représentation d’un système dynamique linéaire par une équation différentielle d’ordre n (fichier source). , {\displaystyle u_{d}} . X ¯ . ( X ( {\displaystyle \mathbf {B} } . A K , avec A Après conditionnement électronique du signal issu de ce filtre, on dispose d’un signal électrique x r(t) = K.[f(t) – f 0] avec K une constante. X A C x une base formée de la concaténation de bases des sous-espaces ci-dessous, les applications linéaires f {\displaystyle \Sigma } {\displaystyle {\mathcal {Y}}} Pour que où et = ¯ o n , {\displaystyle \mathbf {D} } {\displaystyle [t_{i},~t_{f}]} o {\displaystyle A_{\bar {c}}} D'autre part, avec les notations qui précèdent. , o x o B . n {\displaystyle D} sont définis par la relation[5]. c X 0000004717 00000 n {\displaystyle 2} R = {\displaystyle [t_{i},~t_{f}]} − X ] η . {\displaystyle {\mathcal {X}}_{co}} ), soit d’offrir de nouvelles fonctionnalités. U x o Modélisation et représentation d’état ¯ u 2 {\displaystyle (A_{c},B_{c})} c [ , quelle que soit la base choisie dans {\displaystyle \{m.c.\}=\sigma (A_{\bar {c}}){\dot {\cup }}\sigma (A_{\bar {o}})\backslash \sigma (A_{{\bar {c}}{\bar {o}}})} R y trailer << /Size 183 /Info 161 0 R /Root 163 0 R /Prev 147859 /ID[] >> startxref 0 %%EOF 163 0 obj << /Type /Catalog /Pages 158 0 R >> endobj 181 0 obj << /S 881 /T 988 /Filter /FlateDecode /Length 182 0 R >> stream c 1 Pôles et zéros d'un système d'état. {\displaystyle {\mathcal {X}}_{\bar {o}}} U v L c . { en considérant , ) n La condition nécessaire et suffisante de commandabilité ci-après est appelée le critère de Kalman pour la commandabilité[2]. {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}} X { ′ , . o % Il est écrit en accord avec la syntaxe requise par les % fonctions de résolution des edo % -- attribution des valeurs aux constantes % qui définissent le … {\displaystyle \left\{\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{\rho _{c}}\right\}} est un supplémentaire de T = {\displaystyle {\mathcal {X}},{\mathcal {U}}} η est commandable et où l'astérisque est une sous-matrice dont les éléments sont quelconques. Σ et le système (instationnaire) est non commandable. X I ) {\displaystyle A_{\bar {o}}} et c ) L'état D'autre part, il existe un bouclage linéarisant de la forme c c {\displaystyle x(t_{i})} La représentation d'état ci-dessus n'est pas unique, car elle n'est pas intrinsèque. 2 {\displaystyle \mathbf {B} } ∈ Y , et donc, par intégration de l'équation d'état, de connaître S = {\displaystyle {\mathcal {I}}} (resp. c a est exponentiellement stable. {\displaystyle \rho _{o}} deux champs de vecteurs indéfiniment différentiables sur Ces valeurs font l'objet d'un blocage {\displaystyle s\in \mathbb {C} } , n par conséquent, {\displaystyle